Question

【題目】若關于的二次函數（為常數）與軸交于兩個不同的點、，與軸交于點，其圖象的頂點為點是坐標原點．

（1）若、、，求此二次函數的解析式并寫出二次函數的對稱軸；

（2）如圖1，若，，為直角三角形，是以的等邊三角形，試確定的值；

（3）設為正整數，且，，為任意常數，令，，如果對于一切實數，始終成立，求的值．

Answer 1

【答案】（1），對稱軸；（2）；（3）或．

【解析】

（1）函數的表達式為：y=a（x+2）（x-4）=a（x2-2x-8），即可求解；

（2）設，，，由，得到，結合一元二次方程根與系數的關系，得到；由為邊長2的等邊三角形，則，得到；由，得到，聯立方程組，即可求出a、b、c的值.

（3）先表示出解析式，求出點A、B的橫坐標，得到AB=x2-x1=|mt+3|≥|2t+n|，對于一切實數t，上式都成立，則必然存在|mt+3|=|2t+n|，結合一元二次方程根的判別式即可求解．

解：（1）設函數的表達式為：y=a（x+2）（x-4）=a（x2-2x-8），

把點C代入，則-8a=3，

解得：，

∴，

∴；

∴對稱軸；

（2）設，，，

∵為直角三角形，且，

∴，

∴，

∴，

令，，

則，

∴，

∴①；

又∵為邊長2的等邊三角形，

∴拋物線頂點坐標中縱坐標為，且．

∴，

∴②；

又∵

∴③

由①②③得：，

解得：；

（3）根據題意，解析式：．

令，，

∴，

∴，，

∴AB=；

∴（兩邊平方），

∴，

∴，

∴恒成立．

∴，

∴且為正整數

∴或．