Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（4，0），B（0，4），C（6，6）．

（1）求拋物線的表達式；
（2）證明：四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；
（3）在四邊形AOBC的內部能否截出面積最大的DEFG？（頂點D，E，F，G分別在線段AO，OB，BC，CA上，且不與四邊形AOBC的頂點重合）若能，求出DEFG的最大面積，并求出此時點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

根據題意得 ，解得 ，

∴拋物線的表達式為y= x2﹣ x+4

（2）

證明：如圖1，連結AB、OC，

∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），

∴OA=4，OB=4，CB= =2 ，CA= =2 ，

∴OA=OB，CA=CB，

∴OC垂直平分AB，

即四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直

（3）

解：能．

如圖2，

AB= =4 ，OC= =6 ，設D（t，0），

∵四邊形DEFG為平行四邊形，

∴EF∥DG，EF=DG，

∵OC垂直平分AB，

∴△OBC與△OAC關于OC對稱，

∴EF和DG為對應線段，

∴四邊形DEFG為矩形，DG∥OC，

∴DE∥AB，

∴△ODE∽△OAB，

∴ = ，即 = ，解得DE= t，

∵DG∥OC，

∴△ADG∽△AOC，

∴ = ，即 = ，解得DG= （4﹣t），

∴矩形DEFG的面積=DEDG= t （4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，

當t=2時，平行四邊形DEFG的面積最大，最大值為12，此時D點坐標為（2，0）．

【解析】（1）根據拋物線經過點A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系數法，求出拋物線的表達式即可；（2）利用兩點間的距離公式分別計算出OA=4，OB=4，CB=2 ，CA=2 ，則OA=OB，CA=CB，根據線段垂直平分線定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；（3）如圖2，利用兩點間的距離公式分別計算出AB=4 ，OC=6 ，設D（t，0），根據平行四邊形的性質四邊形DEFG為平行四邊形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC與△OAC關于OC對稱，則可判斷EF和DG為對應線段，所以四邊形DEFG為矩形，DG∥OC，則DE∥AB，于是可判斷△ODE∽△OAB，利用相似比得DE= t，接著證明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG= （4﹣t），所以矩形DEFG的面積=DEDG= t （4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根據二次函數的性質求平行四邊形DEFG的面積的最大值，從而得到此時D點坐標．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．