Question

4．如圖，O是等邊△ABC的外心，BO的延長線和⊙O相交于點D，連接DC，DA，OA，OC．
（1）求證：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據內心性質得∠1=∠2，∠3=∠4，則AD=CD，于是可判斷四邊形OADC為菱形，則BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判斷點O為△ABC的外心，則可判斷△ABC為等邊三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根據平行四邊形的性質得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，則根據“SAS”證明△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如圖，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到∠BOH=30°，根據垂徑定理得到BH=AH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，得出OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BH=1，OB=2OH=2，然后根據三角形面積公式和扇形面積公式，利用S_陰影部分=S_扇形AOB-S_△AOB進行計算即可．

解答 （1）證明：如圖1所示：
∵O是等邊△ABC的外心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴AD=CD，
∵四邊形OADC為平行四邊形，
∴四邊形OADC為菱形，
∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，
而∠1=∠5，
∴OA=OC，∠2=∠3，
∴OB=OC，
∴點O為△ABC的外心，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，
∵四邊形OADC為平行四邊形，
∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，
∴AD=OB，
在△BOC和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=DC}&{\;}\\{∠BOC=∠ADC}&{\;}\\{OC=DA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△CDA（SAS）；
（2）解：作OH⊥AB于H，如圖2所示，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠BOH=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∵OH⊥AB，
∴BH=AH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BH=1，
OB=2OH=2，
∴S_陰影部分=S_扇形AOB-S_△AOB
=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、垂徑定理、扇形面積公式等知識；本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的性質是解決問題的關鍵．