Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處．分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)O，D，C三點(diǎn)．

（1）求AD的長(zhǎng)及拋物線的解析式；
（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？
（3）點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使以M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)（不寫求解過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCO為矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

由題意，△BDC≌△EDC．

∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．

由勾股定理易得EO=6．

∴AE=10﹣6=4，

設(shè)AD=x，則BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，

解得，x=3，∴AD=3．

∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)D（3，10），C（8，0），O（0，0）

∴ ，

解得

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x

（2）解：方法一：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．

當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，

∴ = ，即 = ，

解得t= ．

當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴ = ，即 = ，

解得t= ．

∴當(dāng)t= 或 時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似

方法二：∵E（0，6），C（8，0），

∴l(xiāng)EC：y=﹣ x+6，

∵ ，EP=2t，

∴Px= t，

∴P（ t，﹣ t+6），Q（8﹣t，0），

∵△PQC∽△ADE，且∠ECO=∠AED，

∴PQ⊥OC或PQ⊥PC．

當(dāng)PQ⊥OC時(shí)，Px=Qx，即 t=8﹣t，∴t1= ，

當(dāng)PQ⊥PC時(shí)，KPQKPC=﹣1，∴t2=

（3）解：方法一：假設(shè)存在符合條件的M、N點(diǎn)，分兩種情況討論：

①

EC為平行四邊形的對(duì)角線，由于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)EC中點(diǎn)，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn)；

則：M（4， ）；而平行四邊形的對(duì)角線互相平分，那么線段MN必被EC中點(diǎn)（4，3）平分，則N（4，﹣ ）；

②EC為平行四邊形的邊，則EC MN，設(shè)N（4，m），則M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；

將M（﹣4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣38，此時(shí) N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；

將M（12，m﹣6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣26，此時(shí) N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；

綜上，存在符合條件的M、N點(diǎn)，且它們的坐標(biāo)為：

①M(fèi)1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4， ），N3（4，﹣ ）

方法二：M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．設(shè)N（4，t），C（8，0），E（0，6），

∴ ，

∴M1（4，6﹣t），同理M2（﹣4，t+6），M3（12，t﹣6），

∴﹣ t，∴t=﹣ ，

﹣ ×（﹣4）2+ （﹣4）=t+6，∴t=﹣38，

﹣ ×122+ ×12=t﹣6，∴t=﹣26，

綜上，存在符合條件的M、N點(diǎn)，且它們的坐標(biāo)為：

①M(fèi)1（4， ），N1（4，﹣ ）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；

③M3（﹣4，﹣32），N3（4，﹣38）．

【解析】（1）根據(jù)折疊圖形的軸對(duì)稱性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到AE的長(zhǎng)；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長(zhǎng)．進(jìn)一步能確定D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．（2）由于∠DEC=90°，首先能確定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在這兩種情況下，分別利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出對(duì)應(yīng)的t的值．（3）由于以M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形，邊和對(duì)角線都沒(méi)明確指出，所以要分情況進(jìn)行討論：①EC做平行四邊形的對(duì)角線，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中點(diǎn)正好在拋物線對(duì)稱軸上，所以M點(diǎn)一定是拋物線的頂點(diǎn)；②EC做平行四邊形的邊，那么EC、MN平行且相等，首先設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后結(jié)合E、C的橫、縱坐標(biāo)差表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，再將點(diǎn)M代入拋物線的解析式中，即可確定M、N的坐標(biāo)．