Question

【題目】（10分）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】小明遇到這樣一個問題：

如圖1，△ABC是等邊三角形，點D為BC的中點，且滿足∠ADE=60°，DE交等邊三角形外角平分線CE所在直線于點E，試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．

（1）小明發(fā)現(xiàn)，過點D作DF//AC，交AC于點F，通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理論證，能夠使問題得到解決，請直接寫出AD與DE的數(shù)量關(guān)系： ；

（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)點D是線段BC上（除B，C外）任意一點時（其它條件

不變），試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（3）【拓展應(yīng)用】當(dāng)點D在線段BC的延長線上，且滿足CD=BC（其它條件不變）時，

請直接寫出△ABC與△ADE的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）AD=DE；（2）AD=DE，證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：本題難度中等。主要考查學(xué)生對探究例子中的信息進(jìn)行歸納總結(jié)。并能夠結(jié)合三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵。

試題解析：（10分）

（1）AD=DE．

（2）AD=DE．

證明：如圖2，過點D作DF//AC，交AC于點F,

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．

又∵DF//AC，

∴∠BDF=∠BFD=60°

∴△BDF是等邊三角形，BF=BD，∠BFD=60°，

∴AF=CD，∠AFD=120°．

∵EC是外角的平分線，

∠DCE=120°=∠AFD．

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD．

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，

∴∠FAD=∠EDC．

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE；

（3）．