Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB和拋物線交于點A（﹣4，0），B（0，4），且點B是拋物線的頂點．

（1）求直線AB和拋物線的解析式．
（2）點P是直線上方拋物線上的一點，求當△PAB面積最大時點P的坐標．
（3）M是直線AB上一動點，在平面直角坐標系內是否存在點N，使以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

答案

解：設直線的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣4，0），B（0，4）代入得： ，解得k=1，b=4，

∴直線AB的解析式為y=x+4．

設物線的解析式為y=ax2+4．

∵將A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+4．

；

答案

解：設直線的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣4，0），B（0，4）代入得： ，解得k=1，b=4，

∴直線AB的解析式為y=x+4．

設物線的解析式為y=ax2+4．

∵將A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+4．

；答案；

解：設直線的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣4，0），B（0，4）代入得： ，解得k=1，b=4，

∴直線AB的解析式為y=x+4．

設物線的解析式為y=ax2+4．

∵將A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+4．

（2）

解：如圖1所示，過點P作PQ⊥x軸，交AB于點Q．

設點P的坐標為（a，﹣ +4），則點Q的坐標為（a，a+4）．則PQ=﹣ +4﹣（a+4）=﹣ ﹣a．

∵S△ABP的面積= PQ（xB﹣xA）= ×4×（﹣ ﹣a）=﹣ a2﹣2a=﹣ （a+2）2+2，

∴當a=﹣2時△ABP的面積最大，此時P（﹣2，2）．

（3）

解：如圖2所示：延長MN交x軸與點C．

∵MN∥OB，OB⊥OC，

∴MN⊥OC．

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠BA0=45°．

∵ON∥AB，

∴∠NOC=45°．

∴OC=ON× =4× =2 ，NC=ON× =4× =2 ．

∴點N的坐標為（2 ，2 ）．

如圖3所示：過點N作NC⊥y軸，垂足為C．

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠OBA=45°．

∵ON∥AB，

∴∠NOC=45°．

∴OC=ON× =4× =2 ，NC=ON× =4× =2 ．

∴點N的坐標為（﹣2 ，﹣2 ）．

如圖4所示：連接MN交y軸與點C．

∵四邊形BNOM為菱形，OB=4，

∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．

∴點的縱坐標為2．

∵將y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=﹣2，

∴點M的坐標為（﹣2，2）．

∴點N的坐標為（2，2）．

如圖5所示：

∵四邊形OBNM為菱形，

∴∠NBM=∠ABO=45°．

∴四邊形OBNM為正方形．

∴點N的坐標為（﹣4，4）．

綜上所述點N的坐標為 或 或（﹣4，4）或（2，2）

【解析】（1）設直線的解析式為y=kx+b，將A（﹣4，0），B（0，4）代入得到關于k、b的方程組，然后解得k、b的值即可；設拋物線的解析式為y=ax2+4，然后將點A的坐標代入求得a的值即可；（2）過點P作PQ⊥x軸，交AB于點Q．設點P（a，﹣ +4），Q（a，a+4）．則PQ=﹣ ﹣a，然后依據三角形的面積公式列出△ABP的面積與a的函數關系式，然后依據二次函數的性質求解即可；（3）先根據題意畫出圖形，需要注意本題共有4種情況，然后依據菱形的性質、等腰直角三角形的性質以及特殊銳角三角函數值求解即可．