Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，,點P為AC邊上一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉,當AP旋轉至時，點恰好在同一直線上，此時于點E．

(1)求證：

(2)若,求AE的長

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3

【解析】

（1）根據旋轉的性質可得AP=AP′，根據等邊對等角的性質可得∠APP′=∠AP′P，再根據等角的余角相等證明即可；
（2）過點P作PD⊥AB于D，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=DP，然后求得AE的長即可；

證明：（1）∵AP′是AP旋轉得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′
∴∠CBP=∠ABP；

（2）如圖，過點P作PD⊥AB于D，

又∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，
，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP，
∵AB-BC=4，AC=8，

設AB=m,則BC=m-4，

在Rt△PDA中，

，

解得：m=10，

∴AB=10，BC=6，
設PC=PD=x，則AD=10-6=4，PA=8-x，
在R t △PDA中，x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴AE=CP=3；