Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=12，BC=8，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F．

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE，由勾股定理求出BD，得出OD，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）∵四邊形BEDF為菱形，
∴BE=DEDB⊥EF，
又∵AB=12，BC=8，
設BE=DE=x，則AE=12-x，
在Rt△ADE中，82+（12-x）2=x2,
∴x＝.
又BD＝，
∴DO＝BD＝2，
∴OE＝＝.
∴EF=2OE=．