Question

【題目】閱讀下列兩則材料，回答問題，材料一：定義直線y＝ax+b與直線y＝bx+a互為“共同體直線”，例如，直線y＝x+4與直線y＝4x+l互為“共同體直線”．

材料二：對于半面直角坐標系中的任意兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2之兩點間的直角距離d1（P1，p2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|：例如：Q1（﹣3，1）、Q2（2.4）兩點間的直角距離為d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8； P0（x0，y0）為一個定點，Q（x，y）是直線y＝ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做Po到直線y＝ax+b的直角距離．

（1）計算S（﹣2，6），T（1，3）兩點間的直角距離d（S，T）＝　 　，直線y＝4x+3上的一點H（a，b）又是它的“共同體直線”上的點，求點H的坐標．

（2）對于直線y＝ax+b上的任意一點M（m，n），都有點N（3m，2m﹣3n）在它的“共同體直線”上，試求點L（10，﹣）到直線y＝ax+b的直角距離．

Answer 1

【答案】（1）d（S，T）＝7，H（1，7）；（2）10．

【解析】

（1）根據題中所給出的兩點的直角距離公式即可得出結論；求兩條直線的交點即可求H點的坐標；

（2）先表示直線y＝ax+b的“共同體直線”，并將點M和N分別代入可得方程組，得：（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b，對于任意一點M（m，n）等式均成立，求出a，b的值，再根據題意得出關于x的式子，再由絕對值的幾何意義即可得出結論．

解：（1）∵S（﹣2，6）、T（1，3）則S、T兩點的直角距離為d（S，T）＝|﹣2﹣1|+|6﹣3|＝7，

∴S（﹣2，6）、T（1，3）兩點間的直角距離d（S，T）＝7．

直線y＝4x+3的“共同體直線”是y＝3x+4，由題意知H是它們的交點，則有：，

解得，

∴點H的坐標為：H（1，7）；

（2）∵點M（m，n）是直線y＝ax+b上的任意一點，

∴am+b＝n①，

∵點N（3m，2m﹣3n）是直線y＝ax+b的“共同體直線”上的一點，

即N（3m，2m﹣3n）在直線y＝bx+a上

∴3bm+a＝2m﹣3n②，

將①代入②得，3bm+a＝2m﹣3（am+b），

整理得：3bm+3am﹣2m＝﹣a﹣3b，

∴（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b，

∵對于任意一點M（m，n）等式均成立，

∴，

解得，

．

是直線上的動點，定點

，

，，

當時，代數式有最小值10，

點到直線的直角距離是10．