Question

【題目】如圖，ABCD中，點E，F分別是BC和AD邊上的點，AE垂直平分BF，交BF于點P，連接EF，PD．

（1）求證：平行四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）tan∠ADP＝．

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的性質和平行四邊形的性質即可得到結論；

（2）作PH⊥AD于H，根據四邊形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，從而得到PH＝，DH＝5，然后利用銳角三角函數的定義求解即可．

（1）證明：∵AE垂直平分BF，

∴AB＝AF，

∴∠BAE＝∠FAE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠FAE＝∠AEB，

∴∠AEB＝∠BAE，

∴AB＝BE，

∴AF＝BE．

∵AF∥BC，

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB＝BE，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，

∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，

∴AP＝AB＝2，

∴PH＝，DH＝5，

∴tan∠ADP＝＝．