Question

材料一：在平面直角坐標系中，如果已知A，B兩點的坐標為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），設AB=t，那么我們可以通過構造直角三角形用勾股定理得出結論：（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=t²
材料二：根據圓的定義，圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合（其中定點為圓心，定長為半徑）．如果把圓放在平面直角坐標系中，我們設圓心坐標為（a，b），半徑為r，圓上任意一點的坐標為（x，y），那么我們可以根據材料一的結論得出：（x-a）²+（y-b）²=r²，這個二元二次方程我們把它定義為圓的方程．比如：以點（3，4）為圓心，4為半徑的圓，我們可以用方程（x-3）²+（y-4）²=4²來表示．事實上，滿足這個方程的任意一個坐標（x，y），都在已知圓上．
認真閱讀以上兩則材料，回答下列問題：
（1）方程（x-7）²+（y-8）²=81表示的是以

（7，8）

為圓心，

9

為半徑的圓的方程．
（2）方程x²+y²-2x+2y+1=0表示的是以

（1，-1）

為圓心，

1

為半徑的圓的方程； 猜想：若方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（其中D，E，F為常數）表示的是一個圓的方程，則D，E，F要滿足的條件是

D²+E²-4F＞0

．
（3）方程x²+y²=4所表示的圓上的所有點到點（3，4）的最小距離是

3

（直接寫出結果）．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件直接得出方程（x-7）²+（y-8）²=81表示的圓心以及半徑即可；
（2）利用配方法結合（1）中求法得出答案即可，利用配方后式子大于0進而得出D，E，F要滿足的條件；
（3）利用以上所求以及勾股定理得出最小值即可．

解答：解：（1）∵以點（3，4）為圓心，4為半徑的圓，我們可以用方程（x-3）²+（y-4）²=4²來表示，
∴方程（x-7）²+（y-8）²=81表示的是以（7，8）為圓心，

81

=9為半徑的圓的方程；

（2）∵x²+y²-2x+2y+1=0可以整理為：（x-1）²+（y+1）²=1²，
∴方程x²+y²-2x+2y+1=0表示的是以（1，-1）為圓心，1為半徑的圓的方程；
∵方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（其中D，E，F為常數）表示的是一個圓的方程，
∴上式可以整理為：（x+

D

2

）²+（x+

E

2

）²=

D2

4

+

E2

4

-F，
∴

D2

4

+

E2

4

-F＞0，即D²+E²-4F＞0，
則D，E，F要滿足的條件是：D²+E²-4F＞0；

（3）∵方程x²+y²=4所表示的圓的圓心為（0，0），半徑為2，
B點坐標為（3，4），
∴BO=

32+42

=5，
∴圓上的所有點到點（3，4）的最小距離是：BC=CO=5-2=3，
故答案為：（7，8），9；：（1，-1），1，D²+E²-4F＞0；3．

點評：此題主要考查了新定義和勾股定理以及配方法應用等知識，利用圓的方程得出圓心以及半徑是解題關鍵．