Question

（2013•西城區一模）先閱讀材料，再解答問題：
小明同學在學習與圓有關的角時了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等弧）所對的圓周角相等．如圖，點A、B、C、D均為⊙O上的點，則有∠C=∠D．小明還發現，若點E在⊙O外，且與點D在直線AB同側，則有∠D＞∠E．
請你參考小明得出的結論，解答下列問題：

（1）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，7），點B的坐標為（0，3），點C的坐標為（3，0）．
①在圖1中作出△ABC的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法）；
②若在x軸的正半軸上有一點D，且∠ACB=∠ADB，則點D的坐標為

（7，0）

；
（2）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，m），點B的坐標為（0，n），其中m＞n＞0．點P為x軸正半軸上的一個動點，當∠APB達到最大時，直接寫出此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）①作出△ABC的兩邊的中垂線的交點，即可確定圓心，則外接圓即可作出；
②D就是①中所作的圓與x軸的正半軸的交點，根據作圖寫出坐標即可；
（2）當以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，對應的∠APB最大，根據垂徑定理和勾股定理即可求解．

解答：解：（1）①

②根據圖形可得，點D的坐標是（7，0）；

（2）當以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，作CD⊥y軸，連接CP、CB．
∵A的坐標為（0，m），點B的坐標為（0，n），
∴D的坐標是（0，

m+n

2

），即BC=PC=

m+n

2

，
在直角△BCD中，BC=

m+n

2

，BD=

m-n

2

，
則CD=

BC2-BD2

=

mn

，
則OP=CD=

mn

，
故P的坐標是（

mn

，0）．

點評：本題考查了垂徑定理以及勾股定理，正確理解當以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，對應的∠APB最大，是關鍵．