Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若AB=6，tan∠CDA=，依題意補全圖形并求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連OD，OE，根據圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；

（2）根據切線的性質得到ED=EB，OE⊥BD，則∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB==，易證Rt△CDO∽Rt△CBE，得到=，

求得CD，然后在Rt△CBE中，運用勾股定理可計算出BE的長，由切線長定理即可得DE的長．

（1）證明：連OD，OE，如圖1所示，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

即∠ADO+∠BDO=90°，

又∵∠CDA=∠CBD，

而∠CBD=∠BDO，

∴∠BDO=∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即∠CDO=90°，

∴CD⊥OD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：如圖2所示：

∵EB為⊙O的切線，

∴ED=EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，

∴∠CDA=∠OEB．

而tan∠CDA=，

∴tan∠OEB==，

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴=，

∴CD=×6=4，

在Rt△CBE中，設BE=x，

∴（x+4）2=x2+62，

解得：x=．

即BE的長為，

∴DE=BE=．