Question

設p,q都是實數，且．我們規定：滿足不等式的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當時，有，我們就稱此函數是閉區間上的“閉函數”．
（1）反比例函數是閉區間上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；
（2）若一次函數是閉區間上的“閉函數”，求此函數的解析式；
（3）若實數c，d滿足，且，當二次函數是閉區間上的“閉函數”時，求c，d的值．

Answer 1

（1）是，理由見解析；（2）或；（3），.

試題分析：（1）根據反比例函數的單調區間進行判斷.
（2）根據新定義運算法則列出關于系數k、b的方程組或，通過解該方程組即可求得系數k、b的值.
（3）由于函數的圖象開口向上，且對稱軸為，頂點為，由題意根據圖象，分和兩種情況討論即可.　
試題解析：（1）是. 由函數的圖象可知，當時，函數值y隨著自變量x的增大而減少，而當時，；時，，故也有，
所以，函數是閉區間上的“閉函數”．
（2）因為一次函數是閉區間上的“閉函數”，所以根據一次函數的圖象與性質，必有：
①當時，，解之得．
∴一次函數的解析式為．
②當時，，解之得．
∴一次函數的解析式為．
故一次函數的解析式為或．
（3）由于函數的圖象開口向上，且對稱軸為，頂點為，由題意根據圖象，分以下兩種情況討論：
①當時，必有時，且時，，
即方程必有兩個不等實數根，解得．
而0，6分布在2的兩邊，這與矛盾，舍去；
②當時，必有函數值y的最小值為，
由于此二次函數是閉區間上的“閉函數”，故必有，從而有.
而當時，，即得點；
又點關于對稱軸的對稱點為，
由“閉函數”的定義可知必有時，，即 ，解得．
故可得，符合題意．
綜上所述，，為所求的實數．