Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．現有動點P從點A出發，沿線段AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段CB向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是3cm/s，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，設運動的時間為ts．

求：（1）用含t的代數式表示Rt△CPQ的面積S；

（2）當t＝2s時，P、Q兩點之間的距離是多少？

（3）當t為多少秒時，以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）Rt△CPQ的面積為S＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；（2）PQ＝10cm；（3）t＝2秒或t＝秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】

(1)由點P,點Q的運動速度和運動時間,又知AC,BC的長,可將CP.CQ用含t的表達式求出,代入直角三角形面積公式S△CPQ=CP CQ求解

(2)在Rt△CPQ中,當t=2秒,可知CP、CQ的長,運用勾股定理可將PQ的長求出

(3)應分兩種情況:當R△CPQ∽R△CAB時根據 ,可將時間t求出;當Rt△ CPQ∽Rt△CBA時,根據 ,可求出時間t.

（1）由題意得AP＝4t，CQ＝3t，則CP＝16﹣4t，

因此Rt△CPQ的面積為S＝ CP×CQ＝ （16﹣4t）×3t＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；

（2）由題意得AP＝4t，CQ＝3t，則CP＝16﹣4t，

當t＝2秒時，CP＝16﹣4t＝8cm，CQ＝3t＝6cm，

在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝ ；

（3）由題意得AP＝4t，CQ＝3t，則CP＝16﹣4t，

∵AC＝16cm，BC＝12cm．

∴①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，，即，解得t＝2秒；

②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時， ，即，解得t＝ 秒．

因此t＝2秒或t＝秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．