Question

【題目】如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉說：當AB＋BD＝AC＋CD時，則△ABC是等腰三角形．她的說法正確嗎，如正確，請證明；如不正確，請舉反例說明．

Answer 1

【答案】小莉說法正確，證明見解析.

【解析】分析：延長CB至E，使AB＝EB，延長BC至F，使AC＝FC，連接AE、AF，然后證明△ADE和△ADF全等，從而得出∠E=∠F，結合∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC得出∠ABC=∠ACB，從而得出答案．

詳解：小莉說法正確．

證明：延長CB至E，使AB＝EB，延長BC至F，使AC＝FC，連接AE、AF．

則∠E＝∠EAB，∠F＝∠FAC． ∵ AB＋BD＝AC＋CD，∴ DE＝DF．

∵ AD⊥BC，∴ ∠ADE＝∠ADF＝90°． ∵ DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝90°，AD＝AD，

∴ △ADE≌△ADF（SAS）． ∴ ∠E＝∠F． ∴ ∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC．

∴∠ABC＝∠ACB． ∴ AB＝AC． 即△ABC是等腰三角形．