Question

5．二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其頂點坐標為（1，n），且與x軸的一個交點在（3，0）和（4，0）之間，則下列結論：
①a-b+c＞0；
②3a+b=0；
③若（-$\frac{1}{2}$，y₁），（$\frac{9}{4}$，y₂）是拋物線上的兩點，則y₁＜y₂；
④一元二次方程ax²+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根．
其中正確結論的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用拋物線的對稱性可得到拋物線與x軸的一個交點在（-2，0）和（-1，0）之間，則x=-1時，y＞0，于是可對①進行判斷；利用拋物線對稱軸方程得到b=-2a，則3a+b=3a-2a=a，于是可對②進行判斷；利用二次函數的性質可對③進行判斷；利用拋物線與直線y=n-1有兩個交點可對④進行判斷．

解答 解：∵拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸的一個交點在（3，0）和（4，0）之間，
∴拋物線與x軸的一個交點在（-2，0）和（-1，0）之間，
∴x=-1時，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正確；
∵拋物線的對稱軸為x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a≠0，所以②錯誤；
∵點（-$\frac{1}{2}$，y₁）到直線x=1的距離比點（$\frac{9}{4}$，y₂）到直線x=1的距離大，
而拋物線開口向下，
∴y₁＜y₂，所以③正確；
∵x=1時，y有最大值為n，
∴拋物線與直線y=n-1有兩個交點，
∴一元二次方程ax²+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根，所以④正確．
故選C．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數的性質．