Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.

(1)判斷方程根的情況;

(2)若方程的兩根x1,x2滿足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;

(3)若△ABC的兩邊AB,AC的長是方程的兩根,第三邊BC的長為5,

①則k為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形?

②k為何值時,△ABC是等腰三角形,并求出△ABC的周長.

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) k=；(3) 當k=3時,△ABC是等腰三角形,此時△ABC的周長為14;當k=4時,△ABC是等腰三角形,此時△ABC的周長為16.

【解析】

（1）根據方程的系數結合根的判別式即可得出△＝1＞0，由此即可得出方程有兩個不相等的實數根；

（2）根據根與系數的關系進行解答；

（3）利用分解因式法可求出x1＝k＋1，x2＝k＋2．①不妨設AB＝k＋1，AC＝k＋2，根據BC＝5利用勾股定理即可得出關于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根據（1）結論可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分兩種情況，分AB＝BC、AC＝BC兩種情況考慮，根據兩邊相等找出關于k的一元一次方程，解方程求出k值，進而可得出三角形的三邊長，再根據三角形的周長公式即可得出結論

(1)∵在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中，

Δ=b2-4ac=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0，

∴方程有兩個不相等的實數根；

(2)∵x1+x2=2k+3，x1·x2=k2+3k+2，

∴由(x1-1)(x2-1)=5，得x1·x2-(x1+x2)+1=5，

即k2+3k+2-2k-3+1=5，

整理得k2+k-5=0，

解得k=；

(3)∵x2-(2k+3)x+k2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0，

∴x1=k+1，x2=k+2.

①不妨設AB=k+1，AC=k+2，

∴斜邊BC=5時，有AB2+AC2=BC2，

即(k+1)2+(k+2)2=25，

解得k1=2，k2=-5(舍去)，

∴當k=2時，△ABC是直角三角形；

②∵AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由(1)知AB≠AC，故有兩種情況：

(Ⅰ)當AC=BC=5時，k+2=5，

∴k=3，AB=3+1=4，

∵4，5，5滿足任意兩邊之和大于第三邊，

∴此時△ABC的周長為4+5+5=14；

(Ⅱ)當AB=BC=5時，k+1=5，

∴k=4，AC=k+2=6，

∵6，5，5滿足任意兩邊之和大于第三邊，

∴此時△ABC的周長為6+5+5=16.

綜上可知，當k=3時，△ABC是等腰三角形，此時△ABC的周長為14；當k=4時，△ABC是等腰三角形，此時△ABC的周長為16.