Question

【題目】已知拋物線的函數關系式：y=x2+2（a﹣1）x+a2﹣2a（其中x是自變量），

（1）若點P（2，3）在此拋物線上，

①求a的值；

②若a＞0，且一次函數y=kx+b的圖象與此拋物線沒有交點，請你寫出一個符合條件的一次函數關系式（只需寫一個，不要寫過程）；

（2）設此拋物線與軸交于點A（x1，0）、B（x2，0）．若x1＜＜x2，且拋物線的頂點在直線x=的右側，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）與此拋物線無交點的直線可以是y=x﹣2．（2）﹣＜a＜．

【解析】

試題分析：（1）①將P點坐標代入拋物線的解析式中即可求出a的值．

②可根據①得出的a的值求出拋物線的解析式，然后根據拋物線的解析式即可寫出符合條件的一次函數關系式．

（2）本題可從兩方面考慮：

①根據x1＜＜x2，以及拋物線的開口向上可得出當x=時，函數值必小于0，由此可得出一個a的取值范圍．

②由于拋物線的頂點在直線x=的右側，也就是說拋物線的對稱軸在x=的右側，由此可得出另一個a的取值范圍．結合兩種情況即可求出a的取值范圍．

解：（1）①將P（2，3）代入y=x2+2（a﹣1）x+a2﹣2a

得a2+2a﹣3=0，（a+3）（a﹣1）=0

∴a=﹣3或a=1

②∵a＞0，

∴由（1）知a=1，原函數化簡為y=x2﹣1，

故與此拋物線無交點的直線可以是y=x﹣2．

（2）∵頂點在x=右側，即對稱軸x=﹣=1﹣a在的右側，

∴1﹣a＞

∴a＜

由于x1＜＜x2；

∴拋物線在自變量取時，

則變量必小于0．

∴3+2（a﹣1）+a2﹣2a＜0；

解得﹣＜a＜2﹣

∵x=﹣（a﹣1）＞，即a＜；

∴﹣＜a＜．