Question

【題目】已知如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、C分別為坐標軸上上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）在平面直角坐標系xOy中是否存在一點P，使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當|PM﹣AM|的最大值時點M的坐標，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）（5，3）；（3）（1，0）或（﹣5，﹣）；最大值為5.

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A，B，C三點坐標代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長，利用勾股定理求出BC與AC的長相等，只有當BP與AC平行且相等時，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標，確定出P坐標，當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；（3）利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當|PM﹣AM|的最大值時M坐標，確定出|PM﹣AM|的最大值即可．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c， ∵A（1，0）B（0，3）C（﹣4，0），

∴， 解得：a=﹣，b=﹣，c=3，

∴經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3；

（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：

∵OB=3，OC=4，OA=1， ∴BC=AC=5， 當BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，

∴BP=AC=5，且點P到x軸的距離等于OB， ∴點P的坐標為（5，3），

當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，

則當點P的坐標為（5，3）時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形；

（3）設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b（k≠0）， ∵A（1，0），P（5，3），

∴， 解得：k=，b=﹣， ∴直線PA的解析式為y=x﹣，

當點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，

當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，

∴當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，

解方程組，得或，

∴點M的坐標為（1，0）或（﹣5，﹣）時，|PM﹣AM|的值最大，此時|PM﹣AM|的最大值為5．