Question

如圖，在Rt中，，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，E是BC的中點．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）過點E作EF⊥DE，交AB于點F．若AC=3，BC＝4，求DF的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

試題分析：（1）連結OD，CD，求出DE=CE=BE，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠ODE=90°，根據切線的判定推出即可．
（2）根據勾股定理求出AB=5，解直角三角形得出cosB=，求出DE，推出∠EDF=∠B，解直角三角形求出即可．
試題解析：（1）證明：連結OD，CD．

∵是直徑，
∴．
∴．
∵E是BC的中點，
∴．
∴．
∵OC=OD,
∴∠3 ="∠4" ，
∴．
即．
∵,
∴.
又∵是半徑，
∴DE是⊙O的切線．
（2）解：在Rt△ABC中，

∵，AC=3，BC＝4，
∴AB=5．          4分
∴．
∵E是BC的中點，
∴．   5分
∴．
∴．
∴．
考點: 1.切線的判定；2.解直角三角形.