Question

已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分別以OB、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．若點F是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數y=（k＞0）的圖象與邊交于點E．
（1）直接寫出線段AE、BF的長（用含k的代數式表示）；
（2）記△OEF的面積為S．
①求出S與k的函數關系式并寫出自變量k的取值范圍；
②以OF為直徑作⊙N，若點E恰好在⊙N上，請求出此時△OEF的面積S．

Answer 1

解：（1）AE=，；

（2）①依題意得：，
，
∴S=S_{四邊形OACB}-S_△CEF-S_△OAE-S_△OBF
=6---
=．
其中0＜k＜6．
②∵OF為⊙N的直徑，
∴∠FEO=90°．
∵∠OAE=90°，
∴∠AOE+∠AEO=∠CEF+∠AEO=90°．
∴∠AOE=∠CEF．
∵∠OAE=∠C=90°．
∴△AOE∽△CEF
∴，
即，
整理得：-3k²+26k=48，
解得：，k₂=6（不合，舍去）．
∴當時，S==
分析：（1）從圖象上可以得到E點的縱坐標為2，代入到反比例函數的解析式求得其橫坐標即可，F點的橫坐標為3，代入函數解析式求得其縱坐標即可；
（2）①用K表示出CE、CF，利用S是四邊形和幾個三角形的面積的差表示出S即可；
②證得△AOE∽△CEF后，得到比例式，進而得到有關K的一元二次方程求得K的值代入到①中求面積即可．
點評：本題是一道反比例函數的綜合題，題目中還考查了比例式的證明及相似三角形的判定的知識，難度中等．