Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，b）（b＞0），點P是直線AB上位于第二象限內的一個動點，過點P作PC⊥x軸于點C，記點P關于y軸的對稱點為Q，設點P的橫坐標為a．

（1）當b=3時，

①求直線AB的解析式；

②若QO=QA，求P點的坐標．

（2）是否同時存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的a、b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+3；P坐標得P（-2，）；（2）a=-4，b=4或a=-，b=2．

【解析】

試題分析：（1）①由題意確定出B坐標，設直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標代入求出k與b的值，即可求出AB解析式；②由AQ=QO以及OA的長，確定出Q橫坐標，根據P與Q關于y軸對稱，得出P橫坐標，代入直線AB解析式求出縱坐標，即可確定出P坐標；

（2）同時存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形，分兩種情況考慮：①若∠QAC=90°；②若∠AQC=90°，分別求出a與b的值即可．

試題解析：（1）①由A（4，0），B（0，3），

設直線AB解析式為y=kx+b，

把A與B坐標代入得：，

解得：k=-，b=3，

則直線AB解析式為y=-x+3；

②∵QA=QO，OA=4，

∴xQ=2，

∵點P關于y軸的對稱點為Q，

∴xP=-2，

代入直線AP解析式得-×（-2）+3=，

則P坐標得P（-2，）；

（2）①若∠QAC=90°，如圖1所示，

∴xQ=4，

∴a=xP=-4，

∴AC=AQ=8，即P（-4，8），

∴直線AP解析式為y=-x+4，

∴a=-4，b=4；

②若∠AQC=90°，如圖2所示，

則AC=4-a=2CH=-4a，

∴a=-，

∴xP=-，yP=yq=，即P（-，），

∴直線AP解析式為y=-x+2，

∴a=-，b=2，

綜上所示，a=-4，b=4或a=-，b=2．