Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A，B兩點，點A在點B的左側，點M為AB的中點，PQx軸交拋物線于點P，Q，點P在點Q的左側，點Q在第一象限，以PQ，PM為鄰邊作PMNQ．設點P的橫坐標為m．

（1）當m＝0時，求PMNO的周長；

（2）連結MQ，若MQ⊥QN時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）4+2；（2）

【解析】

（1）根據題意求得P（0，3），Q（2，3），則PQ＝2，由勾股定理得PM長，則PMNO的周長可求出；

（2）由題意知△PQM為等腰直角三角形，P（m，﹣m2+2m+3），有Q（2﹣m，﹣m2+2m+3），則PQ＝2﹣2m，可得關于m的方程，解方程可求出m的值．

解：（1）令x＝0得，y＝3

∴P（0，3），

∵拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣，

∴M（1，0），

∵PQ∥x軸，

∴Q（2，3），即得PQ＝2，

PM＝＝，

∵PMNQ為平行四邊形，

∴QN＝PM＝，MN＝PQ＝2，

∴PMNQ的周長為：QN+PM+MN+PQ＝4+2．

（2）如圖，連接MQ，

∵PMNQ為平行四邊形，

∴PM∥QN，

∵MQ⊥QN，

∴MQ⊥PM，

∵P，Q關于對稱軸對稱，

∴MP＝MQ，

∴△PQM為等腰直角三角形，

∴，

∵P（m，﹣m2+2m+3），

∴Q（2﹣m，﹣m2+2m+3），

∴PQ＝2﹣2m，

∴﹣，

解得，m2＝，

∵P在Q左側，

∴m＝．