Question

【題目】定義：點A與⊙O上所有點的連線段中，長度的最小值稱為點A到⊙O的最小距離，記為mA；點A與⊙O上所有點的連線段中，長度的最大值稱為點A到⊙O的最大距離，記為MA，如圖，⊙O的半徑為r，點A在⊙O外，且OA＝d，則mA＝d﹣r．證明如下：

證明：如圖1，設B為圓上任意一點，連結OA、OB、AB

①當O、A、B不共線時，AB＞OA﹣OB

即AB＞d﹣r

②當O、A、B共線時，AB＝OA﹣OB

即AB＝d﹣r

綜上，AB≥d﹣r，即mA＝d﹣r

（1）利用剛才的證明，結合所給的圖2，⊙O的半徑為r，點A在⊙O外，且OA＝d，探究MA，你的結論是MA＝　 　，請證明你的結論；

（2）已知⊙O的半徑為2，mA＝4，則MA＝　 　；

（3）在平面直角坐標系中，以原點O為圓心，6為半徑作⊙O，第二象限的點A的坐標為（﹣3，a），且mA＝1，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）d+r；（2）8；（3）a＝4或 ．

【解析】

（1）由三角形的三邊關系可得結論；

（2）由mA＝4＝dr，MA＝d＋r，可求解；

（3）分點A在圓內和圓外兩種情況討論，由勾股定理可求解．

（1）結論是MA＝d+r；

如圖2，

①當O、A、B不共線時，AB＜OA+OB

即AB＜d+r

②當點O在線段AB上時，AB＝OA+OB

即AB＝d+r

綜上，AB≤d+r，即MA＝d+r；

故答案為：d+r；

（2）∵mA＝4＝d﹣r，且r＝2，

∴d＝6，

∴MA＝d+r＝6+2＝8，

故答案為：8；

（3）如圖3，若點A在圓O內，過點A作AE⊥x軸，延長OA交圓O于點B，

∵點A的坐標為（﹣3，a），

∴EO＝3，AE＝a，

∴AO＝，

∵mA＝1，

∴6﹣AO＝1，

∴＝5，且a＞0，

∴a＝4；

若點A'在在圓O外，過點A'作A'E⊥x軸，連接OA'交圓O于點B'，

∴AO＝＝，

∵mA＝1，

∴AO﹣6＝1，

∴＝7，且a＞0，

∴a＝，

綜上所述：a＝4或．