Question

（2013•鐵嶺）某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品，每件進價為40元．經過市場調查，一周的銷售量y件與銷售單價x（x≥50）元/件的關系如下表：

銷售單價x（元/件）	…	55	60	70	75	…
一周的銷售量y（件）	…	450	400	300	250	…

（1）直接寫出y與x的函數關系式：

y=-10x+1000

（2）設一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數關系式，并確定當銷售單價在什么范圍內變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大？
（3）雅安地震牽動億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災區，在商家購進該商品的貸款不超過10000元情況下，請你求出該商家最大捐款數額是多少元？

Answer 1

分析：（1）設y=kx+b，把點的坐標代入解析式，求出k、b的值，即可得出函數解析式；
（2）根據利潤=（售價-進價）×銷售量，列出函數關系式，繼而確定銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大的銷售單價的范圍；
（3）根據購進該商品的貸款不超過10000元，求出進貨量，然后求最大銷售額即可．

解答：解：（1）設y=kx+b，
由題意得，

55k+b=450 60k+b=400

，
解得：

k=-10 b=1000

，
則函數關系式為：y=-10x+1000；

（2）由題意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）
=-10x²+1400x-40000=-10（x-70）²+9000，
∵-10＜0，
∴函數圖象開口向下，對稱軸為x=70，
∴當50≤x≤70時，銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大；

（3）∵由40（-10x+1000）≤10000
解得x≥75
∴當x=75時，利潤最大，為8750元．

點評：本題考查了二次函數的應用，難度一般，解答本題的關鍵是將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題．