Question

在課外小組活動時，小偉拿來一道題（原問題）和小熊、小強交流.

原問題：如圖1，已知△ABC,∠ACB＝90° , ∠ABC＝45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE, 且DA＝DB, EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點F. 探究線段DF與EF的數量關系.小偉同學的思路是：過點D作DG⊥AB于G,構造全等三角形，通過推理使問題得解.小熊同學說:我做過一道類似的題目,不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小強同學經過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況.請你參考小慧同學的思路，探究并解決這三位同學提出的問題：

1.寫出原問題中DF與EF的數量關系

2.如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明；

3.如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原問題中的其他條件不變，你在（1）中

得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明

 

Answer 1

 

1.DF= EF.     ……………………………（2分）

2.猜想：DF= FE.

證明：過點D作DG⊥AB于G, 則∠DGB=90°.

∵ DA=DB，∠ADB=60°.

∴ AG=BG， △DBA是等邊三角形.

∴ DB=BA.

∵ ∠ACB=90° ， ∠ABC=30°，

∴AC=AB=BG.    ∴ △DBG≌△BAC.

∴ DG=BC.        ∵ BE=EC， ∠BEC=60° ，

∴ △EBC是等邊三角形.

∴ BC=BE， ∠CBE=60°.

∴ DG= BE， ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .

∵ ∠DFG =∠EFB，∠DGF=∠EBF，

∴ △DFG≌△EFB. ∴ DF= EF.         ………………（7分）

3.猜想：DF= FE.

過點D作DH⊥AB于H， 連接HC、HE、HE交CB于K，則∠DHB=90°.

 

 

 

 

 

 

 

∵ DA=DB,     ∴AH=BH, ∠1=∠HDB.

∵ ∠ACB=90°，∴ HC=HB.

∵ EB=EC，HE=HE，

∴ △HBE≌△HCE.  

∴ ∠2=∠3，∠4=∠BEH.  ∴HK⊥BC.

∴ ∠BKE=90°.     

∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC，

∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.

∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，

∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°.

∴ DB//HE， DH//BE.

∴ 四邊形DHEB是平行四邊形.

∴DF=EF.  ………………………………………………………（12分）

解析:本題的解題思路是通過構建全等三角形來求解．先根據直角三角形的性質，等邊三角形的性質得到一些隱含的條件，然后根據所得的條件來證明所構建的三角形的全等；再根據全等三角形的對應邊相等得出DF=EF的猜想．