Question

在課外小組活動時，小偉拿來一道題（原問題）和小熊、小強交流.
原問題：如圖1，已知△ABC, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE, 且DA＝DB,  EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點F. 探究線段DF與EF的數量關系.小偉同學的思路是：過點D作DG⊥AB于G,構造全等三角形，通過推理使問題得解.小熊同學說:我做過一道類似的題目,不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小強同學經過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況.請你參考小慧同學的思路，探究并解決這三位同學提出的問題：
【小題1】寫出原問題中DF與EF的數量關系
【小題2】如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
【小題3】如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原問題中的其他條件不變，你在（1）中

得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明

Answer 1

【小題1】DF= EF.    ……………………………（2分）
【小題2】猜想：DF= FE.
證明：過點D作DG⊥AB于G, 則∠DGB=90°.
∵ DA=DB，∠ADB=60°.
∴ AG=BG，△DBA是等邊三角形.
∴ DB=BA.
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴ AC=AB=BG.   ∴△DBG≌△BAC.
∴ DG=BC.        ∵ BE=EC，∠BEC=60°，
∴△EBC是等邊三角形.
∴ BC=BE，∠CBE=60°.
∴ DG= BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .
∵∠DFG =∠EFB，∠DGF =∠EBF，
∴△DFG≌△EFB.∴ DF= EF.         ………………（7分）
【小題3】猜想：DF= FE.
過點D作DH⊥AB于H，連接HC、HE、HE交CB于K，則∠DHB=90°.

 
∵ DA=DB,    ∴ AH="BH," ∠1=∠HDB.
∵∠ACB=90°，∴ HC=HB.
∵ EB=EC，HE=HE，
∴△HBE≌△HCE.  
∴∠2=∠3，∠4=∠BEH. ∴ HK⊥BC.
∴∠BKE=90°.     
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，
∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.
∴ DB//HE， DH//BE.
∴四邊形DHEB是平行四邊形.
∴ DF=EF. ………………………………………………………（12分）

解析