Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)交x軸于C，且△ABC面積為10．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線(xiàn)BC的解析式；

（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)F為線(xiàn)段AB中點(diǎn)，點(diǎn)G為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接FG，以FG為邊向FG右側(cè)作正方形FGQP，在G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)頂點(diǎn)Q落在直線(xiàn)BC上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若M為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足S△AMB＝S△AOB，點(diǎn)E為直線(xiàn)AM上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，E，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（3，0），直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+4；（2）滿(mǎn)足條件的點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣1）；（3）存在，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）

【解析】

（1）利用三角形的面積公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．

（2）分兩種情形：①當(dāng)時(shí)，如圖中，點(diǎn)落在上時(shí)，過(guò)作直線(xiàn)平行于軸，過(guò)點(diǎn)，作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，．求出．②當(dāng)時(shí)，如圖中，同法可得，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．

（3）利用三角形的面積公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)的解析式，作交直線(xiàn)于，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得四邊形，四邊形是平行四邊形，可得，，，，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得解決問(wèn)題．

解：（1）直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

，，

，，

，

，

，

，

設(shè)直線(xiàn)的解析式為，則有，

．

直線(xiàn)的解析式為．

（2），，，

，設(shè)，

①當(dāng)時(shí)，如圖中，點(diǎn)落在上時(shí)，過(guò)作直線(xiàn)平行于軸，過(guò)點(diǎn)，作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，．

四邊形是正方形，易證，

，，

，

點(diǎn)在直線(xiàn)上，

，

，

．

②當(dāng)時(shí)，如圖中，同法可得，

點(diǎn)在直線(xiàn)上，

，

，

．

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或．

（3）如圖3中，設(shè)，

，

，

，

，

，，

直線(xiàn)的解析式為，

作交直線(xiàn)于，此時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，可得四邊形，四邊形是平行四邊形，可得，，，，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，也符合條件，

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，．