Question

23、已知：二次函數y=x²+（n-2m）x+m²-mn．
（1）求證：此二次函數與x軸有交點；
（2）若m-1=0，求證方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0有一個實數根為1；
（3）在（2）的條件下，設方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0的另一根為a，當x=2時，關于n 的函數y₁=nx+am與y₂=x²+（n-2m）ax+m²-mn的圖象交于點A、B（點A在點B的左側），平行于y軸的直線L與y₁=nx+am、y₂=x²+（n-2m）ax+m²-mn的圖象分別交于點C、D，若
CD=6，求點C、D的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先令y=0，則有x²+（n-2m）x+m²-mn=0，，再根據判別式判斷此方程根的情況，即可證得此二次函數與x軸有交點；
（2）由m-1=0，即可求得m的值，將m的值代入原方程求解，可求得一根為1，或將m=1代入方程，可得方程左右兩邊相等，則可證得方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0有一個實數根為1；
（3）由方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0的根是：x₁=1，x₂=1-n，可得a=1-n，又由當x=2時，y₁=n+1，y₂=-2n²+5n+1，設點C（b，b+1），又由CD=6，即可求得b的值，則問題得解．

解答：解：（1）證明：令y=0，則有x²+（n-2m）x+m²-mn=0，
∵△=（n-2m）²-4（m²-mn）=n²，
∵n²≥0，
∴△≥0，
∴二次函數y=x²+（n-2m）x+m²-mn與x軸有交點；

（2）解：解法一：由m-1=0，得m=1，
∴方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0可化為x²+（n-2）x+1-n=0，
解得：x=1或x=1-n，
∴方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0有一個實數根為1；
解法二：由m-1=0得m=1，
∴方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0可化為x²+（n-2）x+1-n=0，
當x=1時，方程左邊=1+（n-2）+1-n=0，方程右邊=0，
∴左邊=右邊，
∴方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0有一個實數根為1；

（3）解：方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0的根是：x₁=1，x₂=1-n，
∴a=1-n，
當x=2時，y₁=n+1，y₂=-2n²+5n+1，
設點C（b，b+1），
則點D（b，-2b²+5b+1），
∵CD=6，
∴b+1-（-2b²+5b+1）=6或-2b²+5b+1-（b+1）=6，
∴b=3或b=-1，
∴C、D兩點的坐標分別為C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）．

點評：此題考查了二次函數與一元二次方程的關系，判別式以及兩點間的距離等知識．此題綜合性較強，解題的關鍵是注意方程思想的應用．