Question

如圖，已知拋物線與軸相交于A、B兩點，與軸相交于點C，若已知B點的坐標為B（8，0）.

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸方程；
（2）連接AC、BC，試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；
（3）M為拋物線上BC之間的一點，N為線段BC上的一點，若MN∥軸，求MN的最大值；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=x²+x+4，對稱軸為直線x=3；
（2）△AOC∽△COB．理由見解析；
（3）4；
（4）Q1（3，4+），Q2（3，4-），Q3(3，0).

解析試題分析：
（1）把點B的坐標代入拋物線解析式求出b的值，即可得到拋物線解析式，再根據對稱軸方程列式計算即可得解；
（2）令y=0，解方程求出點A的坐標，令x=0求出y的值得到點C的坐標，再求出OA、OB、OC，然后根據對應邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似證明；
（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法求出解析式，再表示出MN，然后根據二次函數的最值問題解答；
（4）利用勾股定理列式求出AC，過點C作CD⊥對稱軸于D，然后分①AC=CQ時，利用勾股定理列式求出DQ，分點Q在點D的上方和下方兩種情況求出點Q到x軸的距離，再寫出點的坐標即可；②點Q為對稱軸與x軸的交點時，AQ=CQ，再寫出點Q的坐標即可．
試題解析：
（1）∵點B（8，0）在拋物線y=x²+bx+4上，
∴×64+8b+4=0，
解得b=，
∴拋物線的解析式為y=x²+x+4，
對稱軸為直線x=；
（2）△AOC∽△COB．
理由如下：令y=0，則x²+x+4=0，
即x²-6x-16=0，
解得x₁=-2，x₂=8，
∴點A的坐標為（-2，0），
令x=0，則y=4，
∴點C的坐標為（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∵=2，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；
（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線BC的解析式為y=x+4，
∵MN∥y軸，
∴MN=x²+x+4-（x+4），
=x²+x+4+x-4，
=x²+2x，
=（x-4）²+4，
∴當x=4時，MN的值最大，最大值為4；
（4）由勾股定理得，AC=，
過點C作CD⊥對稱軸于D，則CD=3，
①AC=CQ時，DQ=，
點Q在點D的上方時，點Q到x軸的距離為4+，
此時點Q1（3，4+），
點Q在點D的下方時，點Q到x軸的距離為4-，
此時點Q2（3，4-），
②點Q為對稱軸與x軸的交點時，AQ=5，
CQ=，
∴AQ=CQ，
此時，點Q3（3，0），
綜上所述，點Q的坐標為（3，4+）或（3，4-）或（3，0）時，△ACQ為等腰三角形時．
考點：二次函數綜合題．