Question

如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC；
（2）當(dāng)

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

，求

S△BPQ

S△ABC

的值；
（3）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于AP，PQ，AB，AC的比例關(guān)系式，我們可根據(jù)P，Q的速度，用時(shí)間x表示出AP，AQ，然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值．
（2）我們先看當(dāng)

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

時(shí)能得出什么條件，由于這兩個(gè)三角形在AC邊上的高相等，那么他們的底邊的比就應(yīng)該是面積比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此時(shí)時(shí)間x正好是（1）的結(jié)果，那么此時(shí)PQ∥BC，由此可根據(jù)平行這個(gè)特殊條件，得出三角形APQ和ABC的面積比，然后再根據(jù)三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積-三角形APQ的面積-三角形BQC的面積來(lái)得出三角形BPQ和三角形ABC的面積比．
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論．已知了∠A和∠C對(duì)應(yīng)相等，那么就要分成AP和CQ對(duì)應(yīng)成比例以及AP和BC對(duì)應(yīng)成比例兩種情況來(lái)求x的值．

解答：解：（1）由題意得，PQ平行于BC，則AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴

4x

20

=

30-3x

30

∴x=

10

3

（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴時(shí)間用了

10

3

秒，AP=

40

3

cm，
∵由（1）知，此時(shí)PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比為

2

3

，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9
∴四邊形PQCB與三角形ABC面積比為5：9，即S_{四邊形PQCB}=

5

9

S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=

1

3

S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四邊形PQCB}-S_△BCQ═

5

9

S_△ABC-

1

3

S_△ABC=

2

9

S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9=

2

9

（3）假設(shè)兩三角形可以相似
情況1：當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，CQ：AP=BC：AQ，即有

3x

4x

=

20

30-3x

解得x=

10

9

，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=

10

9

是原分式方程的解．
此時(shí)AP=

40

9

cm，
情況2：當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，CQ：AQ=BC：AP，即有

3x

30-3x

=

20

4x

解得x=5，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原分式方程的解．
此時(shí)AP=20cm．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似得出線段比或面積比是解題的關(guān)鍵．