Question

【題目】已知函數

（1）m= 時，函數圖像與x軸只有一個交點；

（2）m為何值時，函數圖像與x軸沒有交點；

（3）若函數圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且△ABC的面積為4，求m的值.

Answer 1

【答案】(1) 或；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：（1）分兩種情況進行討論：①當m－1＝0時，函數是一次函數，圖象是直線，與x軸有一個交點；②當m－1≠0時，函數是二次函數，令根的判別式等于0，求出m的值，即可得到結果；

（2）令根的判別式小于0即可求出m的范圍；

（3）對于二次函數解析式，分別令x與y為0求出y與x的值，利用根與系數的關系求出兩個之和與兩根之積，表示出三角形ABC的面積，根據已知面積為4即可求出m的值．

試題解析：

解：（1）分兩種情況進行討論：

①當m－1＝0，m＝1時，函數是一次函數y＝2x，圖象是直線，與x軸有一個交點；

②當m－1≠0，m≠1時，函數是二次函數，

∵函數y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1圖象與x軸只有一個交點，

∴△＝4m2－4（m－1）2＝4m2－4m2＋8m－4＝0，

解得：m＝.

故答案為1或；

（2）∵函數與x軸沒有交點，

∴△＝4m2－4（m－1）2＝4m2－4m2＋8m－4＜0，即m＜；

（3）對于二次函y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1，

令x＝0，得到y＝m－1，即C（0，m－1），

令y＝0，得到(m－1)x2＋2mx＋m－1＝0，

設此方程的兩根為a，b，

∴由根與系數的關系得到a＋b＝， ab＝1，

∴AB＝|a－b|＝＝＝ ，

∵△ABC的面積為4，

∴AByC縱坐標＝4，即|m－1|×＝8，

兩邊平方得：4m2－4(m－1)2＝64，即8m＝68，

解得：m＝．