Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx+3（a＜0）與x軸交于A（3，0）、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x=1，D為拋物線的頂點，點E在y軸C點的上方，且CE= ．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）求證：直線DE是△ACD外接圓的切線；
（3）在直線AC上方的拋物線上找一點P，使S△ACP= S△ACD ， 求點P的坐標；
（4）在坐標軸上找一點M，使以點B，C，M為頂點的三角形與△ACD相似，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線x=1，點A（3，0），

∴根據拋物線的對稱性知點B的坐標為（﹣1，0），OA=3，

將A（3，0），B（﹣1，0）代入拋物線解析式中得： ，

解得： ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

當x=1時，y=4，

∴頂點D（1，4）．

（2）解：當=0時，

∴點C的坐標為（0，3），

∴AC= =3 ，CD= = ，AD= =2 ，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°．

∴AD為△ACD外接圓的直徑，

∵點E在 軸C點的上方，且CE= ．

∴E（0， ）

∴AE= = DE= = ，

∴DE2+AD2=AE2，

∴△AED為直角三角形，∠ADE=90°．

∴AD⊥DE，

又∵AD為△ACD外接圓的直徑，

∴DE是△ACD外接圓的切線；

（3）解：設直線AC的解析式為y=kx+b，

根據題意得： ，

解得： ，∴直線AC的解析式為y=﹣x+3，

∵A（3，0），D（1，4），

∴線段AD的中點N的坐標為（2，2），

過點N作NP∥AC，交拋物線于點P，

設直線NP的解析式為y=﹣x+c，

則﹣2+c=2，解得：c=4，

∴直線NP的解析式為y=﹣x+4，

由y=﹣x+4，y=﹣x2+2x+3聯立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，

解得：x= 或x= ，

∴y= ，或y=

∴P（ ， ）或（ ， ）；

（4）解：分三種情況：①M恰好為原點，滿足△CMB∽△ACD，M（0，0）；

②M在x軸正半軸上，△MCB∽△ACD，此時M（9，0）；

③M在y軸負半軸上，△CBM∽△ACD，此時M（0，﹣ ）；

綜上所述，點M的坐標為（0，0）或（9，0）或（0，﹣ ）．

【解析】（1）把A點坐標代入解析式及由對稱軸x=1求出B點坐標代入即可;頂點可配方化為頂點式；（2）由兩點間距離公式求出AC、CD、AD的長，運用勾股定理逆定理判定出△ACD為直角三角形，再判定出△AED為直角三角形，∠ADE=90°．即AD⊥DE，AD為△ACD外接圓的直徑，所以DE是△ACD外接圓的切線;（3）若S△ACP= S△ACD則P在過AD中點的平行于AC的直線上，此直線解析式中k 與AC 解析式斜率k相等，聯立此直線與拋物線解析式，求出P的坐標;（4）用文字連接的相似，對應點不確定，須分類討論，分3類：M恰好為原點；M在x軸正半軸上；M在y軸負半軸上；按照對應邊成比例，可求出M坐標.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．