Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于點E．

（1）求證：∠ABD＝∠BCD；

（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半徑；

（3）DF⊥AC于點F，試探究線段AF、DF、BC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）12；（3）AF+BC＝DF，理由見解析

【解析】

（1）由CD平分∠ACB，根據圓周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD；

（2）過點E作EM⊥AD于點M，求出AD長，則AB＝AD，可求出AB,則答案得出；

（3）過點D作DN⊥CB，交CB的延長線于點N，可證明△DAF≌△DBN，則AF＝BN，DF＝CF則結論AF+BC＝DF可得出．

（1）證明：∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∵∠ACD＝∠ABD，

∴∠ABD＝∠BCD；

（2）解：如圖1，過點E作EM⊥AD于點M，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，

∴∠DAB＝∠BCD＝45°，

∵AE＝17，

∴ME＝AM＝17×＝，

∵DE＝13，

∴DM＝

∴AD＝AM+DM＝，

∴AB＝AD＝

∴AO＝＝12；

（3）AF+BC＝DF．理由如下：

如圖2，過點D作DN⊥CB，交CB的延長線于點N，

∵四邊形DACB內接于圓，

∴∠DBN＝∠DAF，

∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，

∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，

∴△DAF≌△DBN（AAS），

∴AF＝BN，CF＝CN，

∵∠FCD＝45°，

∴DF＝CF，

∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF．

即AF+BC＝DF．