Question

如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E，F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．

（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）試探究線段EF，OD，OP之間的等量關系，并加以證明；
（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和線段PE的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）EF²=4OD•OP，證明見解析；（3），.

試題分析：（1）連接OB，根據垂徑定理的知識，得出OA=OB，∠POA=∠POB，從而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質結合切線的判定定理即可得出結論；
（2）先證明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性質得出OA與OD、OP的關系，然后將EF=2OA代入關系式即可；
（3）根據題意可確定OD是△ABC的中位線，設AD=x，然后利用三角函數的知識表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，從而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA²=OD•OP，代入數據即可得出PE的長.
試題解析：（1）如圖，連接OB，
∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO=90°.
∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.
又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）.
∴∠PAO="∠PBO=90°." ∴直線PA為⊙O的切線.

（2）EF²=4OD•OP，證明如下：
∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.
∴∠OAD="∠OPA." ∴△OAD∽△OPA. ∴，即OA²=OD•OP.
又∵EF=2OA，∴EF²=4OD•OP.
（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位線定理）.
設AD=x，
∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）²=x²+3²，
解得，x₁=4，x₂=0（不合題意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5.
∵AC是⊙O直徑，∴∠ABC=90°.
又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=.
∵OA²=OD•OP，∴3（PE+5）=25.∴PE=.