Question

【題目】已知正方形與正方形（點C、E、F、G按順時針排列），是的中點，連接，.

（1）如圖1，點在上，點在的延長線上，

求證：=ME，⊥.ME

簡析： 由是的中點，AD∥EF，不妨延長EM交AD于點N，從而構造出一對全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性質，易證△DNE是 三角形,進而得出結論.

（2）如圖2， 在的延長線上，點在上，（1）中結論是否成立？若成立,請證明你的結論；若不成立，請說明理由.

（3）當AB=5，CE=3時，正方形的頂點C、E、F、G按順時針排列.若點在直線CD上，則DM= ;若點E在直線BC上，則DM= .

Answer 1

【答案】（1）等腰直角；（2）結論仍成立，見解析；（3）或，.

【解析】

（1）結論：DM⊥EM，DM=EM．只要證明△AMH≌△FME，推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因為∠EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；
（2）結論不變，證明方法類似；
（3）分兩種情形畫出圖形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性質解決問題即可；

解：（1） △AMN ≌ △FME ,等腰直角.

如圖1中，延長EM交AD于H．

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴△AMH≌△FME，
∴，，
∴，
∵，
∴DM⊥EM，DM=ME．

（2）結論仍成立.

如圖，延長EM交DA的延長線于點H,

∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形,

∴，,

∴AD∥EF,∴.

∵，,

∴△AMF≌△FME(ASA), …

∴，,∴.

在△DHE中，，,,

∴，DM⊥EM.

（3）①當E點在CD邊上，如圖1所示，由（1）的結論可得三角形DME為等腰直角三角形，則DM的長為,此時,所以；

②當E點在CD的延長線上時，如圖2所示，由（2）的結論可得三角形DME為等腰直角三角形，則DM的長為，此時 ，所以 ；

③當E點在BC上是，如圖三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME為等腰直角三角形，

證明如下：∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形, 且點E在BC上

∴AB//EF，∴，

∵M為AF中點，∴AM=MF

∵在三角形AHM與三角形EFM中：

,

∴△AMH≌△FME(ASA),

∴，,∴.

∵在三角形AHD與三角形DCE中：

，

∴△AHD≌△DCE(SAS),

∴,

∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，

∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,

∵在△DHE中，，,,

∴三角形DME為等腰直角三角形，則DM的長為，此時在直角三角形DCE中 ，所以