Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．

⑴求證：AE是⊙O的切線；

⑵若AE＝4cm，CD＝6cm，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD＝2.

【解析】

（1）根據等邊對等角得出∠ODA=∠OAD，進而得出∠OAD=∠EDA，證得EC∥OA，從而證得AE⊥OA，即可證得AE是⊙O的切線；
（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F．從而證得四邊形AOFE是矩形，得出OF=AE=4cm，根據垂徑定理得出DF=CD=3cm，在Rt△ODF中，根據勾股定理即可求得⊙O的半徑，得出ED，根據勾股定理即可求得AD．

（1）證明：連結OA．

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．

∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA．

∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA．

∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．

∵點A在⊙O上，∴AE是⊙O的切線．

（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°
∴四邊形AOFE是矩形．
∴OF=AE=4cm．EF=OA，
又∵OF⊥CD，
∴DF=CD=3cm．
在Rt△ODF中，OD= =5cm，
即⊙O的半徑為5cm，
∴EF=OA=5cm，
∴ED=EF-DF=5-3=2cm，
在Rt△AED中，AD= =2.