Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC，CA＝CB＝6cm，AB＝8cm，點O為△ABC內一點（點O不在△ABC邊界上）．請你運用圖形旋轉和“兩點之間線段最短”等數學知識、方法，求出OA+OB+OC的最小值為_____．

Answer 1

【答案】4+2.

【解析】

以AB為邊作等邊三角形△ABD，以OB為邊作等邊△OBE．連接CD交AB于M點，可證△ABO≌△DBE，可得AO＝DE，則AO+BO+CO＝CO+OE+DE，即當D、E、O、C四點共線時，AO+BO+CO值最小，最小值為CD的長度，根據勾股定理求CD的長度，即可求OA+OB+OC的最小值．

如圖：以AB為邊作等邊三角形△ABD，以OB為邊作等邊△OBE．連接CD交AB于M點．

∵△ABD和△OBE是等邊三角形

∴OE＝OB＝BE，∠ABD＝∠OBE＝60°，AB＝BD

∴∠ABO＝∠DBE且AB＝BD，BO＝BE

∴△ABO≌△DBE

∴AO＝DE

∴AO+BO+CO＝DE+OE+CO

∴當D、E、O、C四點共線時，AO+BO+CO值最小，

∵AC＝BC，AD＝BD

∴CD是AB的垂直平分線

∴AB⊥CD，AM＝MB＝4

∵CA＝CB＝6，AD＝BD＝8

∴CM＝2，MD＝4

∴CD＝4+2

∴AO+BO+CO最小值為4+2，

故答案為4+2，