Question

【題目】點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)(不與A、B重合),連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得線段PE,連接BE,則∠CBE等于（ ）

A. 75°B. 60°C. 30°D. 45°

Answer 1

【答案】D

【解析】

過(guò)E作AB的延長(zhǎng)線AF的垂線，垂足為F，可得出∠F為直角，又四邊形ABCD為正方形，可得出∠A為直角，進(jìn)而得到一對(duì)角相等，由旋轉(zhuǎn)可得∠DPE為直角，根據(jù)平角的定義得到一對(duì)角互余，在直角三角形ADP中，根據(jù)兩銳角互余得到一對(duì)角互余，根據(jù)等角的余角相等可得出一對(duì)角相等，再由PD=PE，利用AAS可得出三角形ADP與三角形PEF全等，根據(jù)確定三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的邊長(zhǎng)相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代換可得出EF=BF，即三角形BEF為等腰直角三角形，可得出∠EBF為45°，再由∠CBF為直角，即可求出∠CBE的度數(shù)．

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AF，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠F=90°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

由旋轉(zhuǎn)可得：PD=PE，∠DPE=90°，

∴∠APD+∠EPF=90°，

∴∠ADP=∠EPF，

在△APD和△FEP中，

∵，

∴△APD≌△FEP（AAS），

∴AP=EF，AD=PF，

又∵AD=AB，

∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，

∴AP=BF，

∴BF=EF，又∠F=90°，

∴△BEF為等腰直角三角形，

∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，

則∠CBE=45°．

故選D．