Question

【題目】如圖，已知O為坐標原點，四邊形OABC為長方形，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動．

（1）當△ODP是等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標；

（2）求△ODP周長的最小值．（要有適當的圖形和說明過程）

Answer 1

【答案】P 的坐標為：（2.5，4）或(3,4)或（2,4)或（8 ,4)；(2) △ODP周長=5+

【解析】試題分析：（1）當P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5時，分別作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐標；（2）作點D關于BC的對稱點D′，連接OD′交BC于P，則這時的△POD的周長最小，即△POD的周長=OD′+OD，根據勾股定理得到OD′的長 ，即可求得△POD的周長．

試題解析：

（1））當P1O=OD=5時，由勾股定理可以求得P1C=3，

當P2O=P2D時，作P2E⊥OA，∴OE=ED=2.5；

當P3D=OD=5時，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F=3，∴P3C=2；

當P4D=OD=5時，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG=3，∴OG=8．

∴P1（2，4），P2（2.5，4），P3（3，4），P4（8，4）；

(2) 作點D關于BC的對稱點D′，連接OD′交BC于P，

則這時的△POD的周長最小，此時△POD的周長=OD′+OD，

∵點D是OA的中點，

∴OD=5，DD′=8，

∴OD′=，

∴△POD的周長=+5．