Question

【題目】對于二次函數和一次函數，我們把 稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E.現有點A(1,0)和拋物線E上的點B(2,n)，請完成下列任務：

（嘗試）

（1）當t=2時，拋物線的頂點坐標為 .

（2）判斷點A是否在拋物線E上；

（3）求n的值.

（發現）通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，定點的坐標 .

（應用）二次函數是二次函數和一次函數 的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由.

Answer 1

【答案】嘗試：（1）（，-）．（2）點A（1，0）在拋物線l上．（3）n＝-1．

發現：（1，0）、（2，-1）．

應用：不是,理由見解析

【解析】

嘗試：（1）將t的值代入“再生二次函數”中，通過配方可得到頂點的坐標；

（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證即可；

（3）已知點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值．

發現：將拋物線l展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數值產生影響），即可求出這個定點的坐標．

應用：將發現中得到的兩個定點坐標代入二次函數中進行驗證即可．

解：嘗試：

（1）∵將t＝2代入拋物線l中，得：＝2x27x+5＝2（x）2，

∴此時拋物線的頂點坐標為：（，-）．

（2）∵將x＝1代入y=2x27x+5，得 y＝0，

∴點A（1，0）在拋物線l上．

（3）將x＝2代入拋物線 y=2x27x+5的解析式中，得：

n＝-1．

發現：

∵將拋物線E的解析式展開，得：

＝t（x1）（x-3）（x-1）+t(x-1)= t（x1）（x-2）（x-1）

∴拋物線l必過定點（1，0）、（2，-1）．

應用：將x＝1代入，y＝0，即點A在拋物線上．

將x＝2代入，計算得：y＝6≠-1，

即可得拋物線不經過點B，

二次函數不是二次函數和一次函數y＝x＋1的一個“再生二次函數”．