Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=2AC．

（1）利用尺規作等腰△DBC，使點D、A在直線BC的同側，且DB=BC，∠DBC=∠ACB（保留作圖痕跡，不寫畫法）；

（2）設（1）中所作的△DBC的邊DC交AB于E點，求證：DE=3CE．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）按照題意畫出相應的圖形，如圖所示；

（2）利用等腰三角形BCD的性質、△DBC的內角和定理和圖形中的角與角間的數量關系來求∠ACE的度數；過點B作BM⊥DC于點M．由全等三角形△BME與△ACE的對應邊相等推知ME=CE=MC．然后根據等腰三角形“三合一”的性質證得DM=MC，最后由等量代換證得結論．

試題解析：（1）如圖所示，根據題意畫出圖形；

（2）∵BD=BC（已知），

∴∠D=∠BCD（等邊對等角）．

又∵∠DBC=120°，∠D+∠BCD+∠DBC=180°（三角形內角和定理），

∴∠D=∠BCD=30°．

∵∠ACB=120°，∠ACB=∠ACE+∠BCD，

∴∠ACE=90°，

過點B作BM⊥DC于點M，

在Rt△BMC中，由∠BCD=30°，得BM=BC，

∵BC=2AC，

∴AC=BC，

∴BM=AC，

在△BME與△ACE中，

∵，

∴△BME≌△ACE（AAS），

∴ME=CE=MC．

∵BD=BC，BM⊥DC，

∴DM=MC，

∴ME=CE=DM，

∴DE=3CE．