Question

如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫半圓，分別交AB、AC于點E、D，DF是圓的切線，過點F作BC的垂線交BC于點G．若AF的長為2，則FG的長為      ．

Answer 1

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試題分析：連接OD，由DF為圓的切線，利用切線的性質得到OD垂直于DF，根據三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到三條邊相等，三內角相等，都為60°，由OD=OC，得到三角形OCD為等邊三角形，進而得到OD平行與AB，由O為BC的中點，得到D為AC的中點，在直角三角形ADF中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長，進而求出AC的長，即為AB的長，由AB-AF求出FB的長，在直角三角形FBG中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出BG的長，再利用勾股定理即可求出FG的長．
試題解析：連接OD，

∵DF為圓O的切線，
∴OD⊥DF，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD為等邊三角形，
∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°，
∴OD∥AB，
又O為BC的中點，
∴D為AC的中點，即OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，
∴AD=4，即AC=8，
∴FB=AB-AF=8-2=6，
在Rt△BFG中，∠BFG=30°，
∴BG=3，
則根據勾股定理得：FG=3
考點: 1.切線的性質；2.勾股定理 ；3.圓周角定理