Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，EF∥AB交AD于點F，連接BF．

（1）如圖1，若AB＝4，DE＝，求BF的長；

（2）如圖2．連接AE，交BF于點H，若DF＝HF＝2，求線段AB的長；

（3）如圖3，連接BF，AB＝3，設EF＝x，△BEF的面積為S，請用x的表達式表示S，并求出S的最大值；當S取得最大值時，連接CE，線段DB繞點D順時針旋轉30°得到線段DJ，DJ與CE交于點K，連接CJ，求證：CJ⊥CE．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）8；（3），，見解析.

【解析】

（1）由正方形的性質可得AB＝AD＝4，∠A＝90°，∠BDA＝45°＝∠DBA，由平行線性質可得∠DFE＝∠A＝90°，∠DEF＝∠DBA＝∠EDF＝45°，可得DF＝1，AF＝3，由勾股定理可求BF的長；

（2）由題意可得DF＝EF＝FH＝2，由平行線的性質和等腰三角形的性質可得∠BAE＝∠FHE＝∠BHA，可得AB＝BH，由勾股定理可求AB的長；

（3）由三角形面積公式可求S△BEF＝EF×AF＝x（3﹣x）＝由二次函數性質可得x＝時，S取得最大值，即點E是BD中點，由旋轉的性質和直角三角形的性質可證四邊形JCEN是矩形，可證CJ⊥CE．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝4，∠A＝90°，∠BDA＝45°＝∠DBA，

∵EF∥AB

∴∠DFE＝∠A＝90°，∠DEF＝∠DBA＝∠EDF＝45°

∴DF＝EF

∴DE＝DF＝

∴DF＝1

∴AF＝AD﹣DF＝3

∴BF＝＝5

（2）∵DF＝EF，DF＝HF＝2，

∴EF＝2＝FH

∴∠FEH＝∠FHE

∵EF∥AB

∴∠FEH＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠FHE＝∠BHA

∴AB＝BH

∵在Rt△ABE中，BF2＝AF2+AB2，

∴（AB+2）2＝（AB﹣2）2+AB2，

∴AB＝8，AB＝0（不合題意舍去）

∴AB＝8

（3）如圖，過點J作JN⊥BD于，

∵S△BEF＝EF×AF＝x（3﹣x）＝∴當x＝時，S△BEF最大值為，

∵x＝，

∴EF＝

∵EF∥AB

∴

∴BD＝2DE，AD＝2DF

∵CB＝CD，BD＝2DE，

∴CE⊥BD，BD＝2CE，

∵旋轉

∴JD＝BD，∠JDB＝30°，

又∵JN⊥BD

∴JD＝2JN，

∴BD＝2JN，

∴JN＝CE，

∵JN⊥BD，CE⊥BD

∴JN∥CE，且CE＝JN

∴四邊形JCEN是平行四邊形，

∵JN⊥BD

∴四邊形JCEN是矩形

∴CJ⊥CE