Question

【題目】如圖， 中， ， =120°，以為一個頂點的等邊三角形繞點A在內旋轉， 、所在的直線與邊分別交于點、，若點關于直線的對稱點為，當是以點為直角頂點的直角三角形時， 的長為__

Answer 1

【答案】

【解析】試題解析：作AH⊥BC于H，如圖1，

∵AB=AC=4，∠BAC=120°，

∴∠B=30°，BH=CH，

在Rt△ABH中，AH=AB=2，BH=AH=2，

∴BC=2BH=4，

把△ACG繞點A順時針旋轉120°得到△ABG′，連結FG′、AB′，如圖2，則BG′=CG，AG=AG，∠ABG′=∠C=30°，∠1=∠BAG′，

∴∠FBG′=60°，

∵∠FAG=60°，

∴∠1+∠2=60°，

∴∠FAG′=60°，

在△AFG和△AFG′中，

，

∴△AFG≌△AFG′，

∴FG=FG′，

∵點B關于直線AD的對稱點為B′，

∴FB=FB′，AB=AB′，∠2=∠3，

而∠3+∠4=60°，∠1+∠2=60°，

∴∠1=∠4，

而AC=AB=AB′，

∴△AB′G與△ACG關于AG對稱，

∴GB′=GC，

∴GB′=BG′，

在△FB′G和△FBG′中，

，

∴△FB′G≌△FBG′，

∴∠FGB′=∠BG′F=90°，

在Rt△BFG′中，∵∠FBG′=60°，

∴BG′=BF，FG′=BF，

∴CG=BF，FG=BF，

∴BF+BF+BF=BC=4，

∴BF=4-4．

故答案為4-4．