Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當x=0和x=2時，y的值相等．直線y=3x﹣7與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標是4，另一點是這條拋物線的頂點M．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）P為線段BM上一點，過點P向x軸引垂線，垂足為Q．若點P在線段BM上運動（點P不與點B、M重合），設OQ的長為t，四邊形PQAC的面積為S．求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；

（3）在線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3．（2）S四邊形PQAC=﹣t2+t+（1＜t＜3）．（3）N1（，﹣），N2（1+，﹣4），N3（2，﹣2）．

【解析】

（1）當x=0和x=2時，y的值相等，可知拋物線的對稱軸為x=1，將x=1代入直線的解析式中即可求出拋物線頂點的坐標，根據直線的解析式還可求出另一交點的坐標，可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式，然后將另一交點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．

（2）由于四邊形QACP不是規則的四邊形，因此可將其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP兩部分進行計算．先求出直線BM的解析式，然后將x=t代入直線BM的解析式中即可求出QP的長，然后根據梯形的面積計算公式即可求出梯形QOCP的面積．然后根據四邊形QACP的面積計算方法即可得出S，t的函數關系式．

（3）可分三種情況進行討論：

①NM=MC；②NM=NC；③MC=NC．可根據直線BM的解析式設出N點的坐標，然后用坐標系中兩點間的距離公式表示出各線段的長，根據上面不同的等量關系式可得出不同的方程，經過解方程即可得出N點的坐標．

（1）由題意可知：拋物線的對稱軸為x=1．

當x=1時，y=3x﹣7=﹣4，因此拋物線的頂點M的坐標為（1，﹣4）．

當x=4時，y=3x﹣7=5，因此直線y=3x﹣7與拋物線的另一交點為（4，5）．

設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣4，則有：a（4﹣1）2﹣4=5，解得：a=1，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3．

（2）根據（1）的拋物線可知：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；

易知直線BM的解析式為y=2x﹣6；

當x=t時，y=2t﹣6；

因此PQ=6﹣2t；

∴S四邊形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=×（3+6﹣2t）×t+×3×1

即：S四邊形PQAC=﹣t2+t+（1＜t＜3）．

（3）假設存在這樣的點N，使△NMC為等腰三角形．

∵點N在BM上，不妨設N點坐標為（m，2m﹣6），則CM2=12+12=2，CN2=m2+[（6﹣2m）﹣3]2，MN2=（m﹣1）2+[4﹣（6﹣2m）]2．

△NMC為等腰三角形，有以下三種可能：

①若CN=CM，則m2+[（6﹣2m）﹣3]2=2，∴m1=，m2=1（舍去），∴N（，﹣）．

②若MC=MN，則（m﹣1）2+[4﹣（6﹣2m）]2=12+12，∴m=1±．

∵1＜m＜3，∴m=1﹣舍去，∴N（1+﹣4）．

③若NC=NM，則m2+[3﹣（6﹣2m）]2=（m﹣1）2+[4﹣（6﹣2m）]2．

解得：m=2，∴N（2，﹣2）．

故假設成立．

綜上所述：存在這樣的點N，使△NMC為等腰三角形．且點N的坐標分別為：

N1（，﹣），N2（1+﹣4），N3（2，﹣2）．