Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點；

①連接BC、CD，設直線BD交線段AC于點E，△CDE的面積為，△BCE的面積為，求的最大值；

②過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②﹣2或．

【解析】

試題分析：（1）根據題意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入，于是得到結論；

（2）①如圖，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，根據相似三角形的性質即可得到結論；

②根據勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點P，求得P（，0），得到PA=PC=PB=，過作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延線于G，情況一：如圖，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情況二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到結論．

試題解析：（1）根據題意得A（﹣4，0），C（0，2），∵拋物線經過A、C兩點，∴，∴，∴；

（2）①如圖，令y=0，∴，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴ ==，設D（a， ），∴M（a，），∵B（1.0），∴N（1，），∴===；∴當a=-2時，的最大值是；

②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點P，∴P（，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，過作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G．分兩種情況：

情況一：如圖，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，），∴DR=﹣a，RC=，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴xD=﹣2．

情況二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，設FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=k，∴

∴RC=k，RG=k，DR=k﹣k=k，∴，∴a1=0（舍去），a2=．

綜上所述：點D的橫坐標為﹣2或．