Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得

∴

∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：存在

理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=﹣1對稱

∴直線BC與x=﹣1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小

∵y=﹣x2﹣2x+3

∴C的坐標為：（0，3）

直線BC解析式為：y=x+3

Q點坐標即為

解得

∴Q（﹣1，2）

（3）

解：存在．

理由如下：設P點（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）

∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC

= BEPE+ OE（PE+OC）

= （x+3）（﹣x2﹣2x+3）+ （﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）

=

當x=﹣ 時，S四邊形BPCO最大值=

∴S△BPC最大=

當x=﹣ 時，﹣x2﹣2x+3=

∴點P坐標為（﹣ ， ）

【解析】（1）根據題意可知，將點A、B代入函數解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數解析式；（2）根據題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關鍵是確定點Q的位置，找到點A的對稱點B，求得直線BC的解析式，求得與對稱軸的交點即是所求；（3）存在，設得點P的坐標，將△BCP的面積表示成二次函數，根據二次函數最值的方法即可求得點P的坐標．