【題目】閱讀材料：
小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如
.善于思考的小明進行了以下探索：
設
(其中
、
、
、
均為整數)，則有
.
∴
，
.這樣小明就找到了一種把類似
的式子化為平方式的方法.
請你仿照小明的方法解決下列問題：
(1)當、、、均為正整數時，若
，用含、的式子分別表示、，得
_________，
_________.
(2)利用所探索的結論，填空：
(_____+_____
)2；
(3)若
，且、、均為正整數，求的值？
【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）1，2；（3）a的值為12或28
【解析】
（1）利用完全平方公式展開得到（m+n
）2=m2+3n2+2mn，從而可用m、n表示a、b；
（2）根據a=13，b=4得到m=1，n=2，然后填空即可；
（3）由a=m2+3n2，2mn=6和a、m、n均為正整數可確定m、n的值，再計算對應的a的值．
解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn；
（2）∵a=13，b=4，
∴m2+3n2=13，4=2mn，
∴m=1，n=2，
∴13+4=（1+2）2，
（3）a=m2+3n2，2mn=6，
∵a、m、n均為正整數，
∴m=3，n=1或m=1，n=3，
當m=3，n=1時，a=9+3=12，
當m=1，n=3時，a=1+3×9=28，
∴a的值為12或28．
故答案為m2+3n2，2mn；1，2．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知△ABC中AB=AC．
（1）作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點F（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，連接CF，求證：∠BAC=∠BFC．
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【題目】本學期學習了分式方程的解法，下面是晶晶同學的解題過程：
解方程 
解：整理，得： 
…………………………第①步
去分母，得： 
…………………………第②步
移項，得： 
……………………… 第③步
合并同類項，得： 
……………………… 第④步
系數化1，得： 
…………………………第⑤步
檢驗：當時，
所以原方程的解是． ………………………第⑥步
上述晶晶的解題過程從第_____步開始出現錯誤，錯誤的原因是_________________．請你幫晶晶改正錯誤，寫出完整的解題過程．
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【題目】將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．
（1）求證：AF+EF=DE；
（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結論是否仍然成立；
（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖③．你認為（1）中猜想的結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關系，并說明理由．
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【題目】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．
（1）求BD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
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【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，DE＝DA．
(1)求證：∠BAD＝∠EDC；
(2)作出點E關于直線BC的對稱點M，連接DM、AM，猜想DM與AM的數量關系，并說明理由．
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【題目】某商店將每件進價
元的某種商品按每件
元出售，一天可銷出約
件，該店想通過降低售價，增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發現這種商品單價每降低
元，其銷售量可增加約件．
將這種商品每件的售價降低多少時，能使商店的銷售利潤為
元？
這種商品的售價降低多少時，才能使商店的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動，他們的運動時間為t(s).
（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由
（2）判斷此時線段PC和線段PQ的關系，并說明理由。
（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變，設點Q的運動速度為x cm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由。
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